透镜及其应用

透镜是光学仪器中最重要的元件之一。从照相机的镜头到近视眼镜的镜片，从显微镜到望远镜——这些设备的核心都是透镜。本章将系统学习透镜的种类、成像规律以及它们在生活和科技中的应用。

透镜知识结构

本章将从透镜的基本概念开始，认识凸透镜和凹透镜的区别，然后深入学习凸透镜成像的规律及其应用，最后了解透镜在眼睛矫正、显微镜和望远镜中的重要作用。

透镜基础

认识凸透镜和凹透镜的外观区别、主光轴、光心和焦点。凸透镜对光有会聚作用，凹透镜对光有发散作用。三条特殊光线是理解透镜成像的关键。

凸透镜成像规律

物距变化时，像的大小、倒正和虚实随之变化。一倍焦距分虚实，二倍焦距分大小。成像规律广泛应用于照相机、投影仪和放大镜。

生活中的透镜与眼睛

透镜不仅存在于光学仪器中——我们的眼睛就是一台精密的变焦系统。近视眼和远视眼可以通过配戴合适的透镜进行矫正。显微镜和望远镜则帮助我们探索微观和宏观世界。

透镜

凸透镜和凹透镜

凸透镜 (convex lens) 中间厚、边缘薄，对光有会聚作用。凹透镜 (concave lens) 中间薄、边缘厚，对光有发散作用。

如果透镜的厚度远小于球面的半径，这种透镜就叫作薄透镜。

透镜类型	形状特点	对光的作用	应用举例
凸透镜	中间厚、边缘薄	会聚	放大镜、照相机、远视眼镜
凹透镜	中间薄、边缘厚	发散	近视眼镜、门镜（猫眼）

主光轴和光心

通过透镜两个球面球心的直线叫作主光轴 (principal axis)。主光轴上有个特殊的点，通过这个点的光传播方向不变，这个点叫作透镜的光心 (optical center)。薄透镜的光心可以认为就在透镜的中心。

上图分别为凸透镜和凹透镜的主光轴和光心。

焦点和焦距

凸透镜：平行于主光轴的光线通过凸透镜后会会聚于主光轴上的一点，这个点叫作焦点 (focus)，用 $F$ 表示。焦点到光心的距离叫作焦距 (focal length)，用 $f$ 表示。凸透镜有两个实焦点（两侧各一个）。

凹透镜：平行于主光轴的光线通过凹透镜后发散，发散光线的反向延长线会交于主光轴上的一点，这个点叫作凹透镜的虚焦点（也用 $F$ 表示）。凹透镜有两个虚焦点（两侧各一个）。

透镜	焦点类型	焦点位置
凸透镜	实焦点（光线实际会聚）	两侧各有一个
凹透镜	虚焦点（反向延长线交点）	两侧各有一个

透镜对光的作用

• 凸透镜对光有会聚作用——折射光线偏向主光轴方向
• 凹透镜对光有发散作用——折射光线偏离主光轴方向

理解"会聚"和"发散"

"会聚"是指折射光线相对于入射光线更靠近主光轴（偏向主光轴方向），不一定要会聚于一点；"发散"是指折射光线相对于入射光线更远离主光轴（偏离主光轴方向）。因此，凸透镜也叫会聚透镜，凹透镜也叫发散透镜。

三条特殊光线

掌握三条特殊光线通过透镜后的传播方向，是理解透镜成像的基础。

凸透镜的三条特殊光线：

1. 平行于主光轴的光线，经凸透镜折射后过焦点（$F^{\prime }$）
2. 过光心的光线，传播方向不变
3. 过焦点的光线（或从焦点发出的光线），经凸透镜折射后平行于主光轴

凹透镜的三条特殊光线：

1. 平行于主光轴的光线，经凹透镜折射后发散，发散光线的反向延长线过同侧虚焦点（$F$）
2. 过光心的光线，传播方向不变
3. 延长线过对侧虚焦点的光线（$F^{\prime }$），经凹透镜折射后平行于主光轴

三条特殊光线的比较

凸透镜和凹透镜的三条特殊光线中，第一条和第三条是互逆的，第二条（过光心方向不变）是一致的。这是作图时最重要的三条光线。

凸透镜成像的规律

物距(u)和像距(v)

• 物距 (object distance)：物体到透镜光心的距离，用 $u$ 表示
• 像距 (image distance)：像到透镜光心的距离，用 $v$ 表示

凸透镜成像的规律可以通过实验探究得出。成像情况取决于物距 $u$ 与透镜焦距 $f$ 的关系。

成像规律

物距（$u$）	像的性质	像距（$v$）	应用
$u>2f$	倒立、缩小的实像	$f<v<2f$	照相机
$u=2f$	倒立、等大的实像	$v=2f$	测焦距
$f<u<2f$	倒立、放大的实像	$v>2f$	投影仪
$u=f$	不成像（折射光线平行射出）	—	探照灯（获得平行光）
$u<f$	正立、放大的虚像	$v>u$（同侧）	放大镜

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$

其中 $u$ 为物距，$v$ 为像距，$f$ 为焦距。$u=f$ 时公式无意义（不成像），$u<f$ 时 $v$ 为负值（虚像）。

实像和虚像的区别

对比项	实像 (real image)	虚像 (virtual image)
形成原因	实际光线会聚而成	折射光线的反向延长线相交而成
能否呈现在光屏上	能	不能
倒立/正立	通常是倒立的	通常是正立的
与物的位置关系	在透镜异侧	在透镜同侧

成像规律示意图

凸透镜成像的四个关键位置对应的光路图：

$u>2f$ —— 倒立、缩小的实像（照相机原理）

$u=2f$ —— 倒立、等大的实像（测焦距）

$f<u<2f$ —— 倒立、放大的实像（投影仪原理）

$u<f$ —— 正立、放大的虚像（放大镜原理）

在线实验

请拖动下方的滑块，观察绿色物体通过凸透镜后，橙色像的变化规律。调整物距 $u$ 和焦距 $f$，观察成像性质、像距和放大率的实时变化。

物距 u = 120 px焦距 f = 50 px

焦距 f = 50 px

成像性质：倒立、缩小的实像

应用：照相机

像距 v = 85.7 px， 放大率 |M| = 0.71

成像规律记忆口诀

一倍焦距分虚实，二倍焦距分大小。

• 一倍焦距以内成虚像，一倍焦距以外成实像——虚像正立，实像倒立
• 二倍焦距以外成缩小像，二倍焦距以内成放大像
• 实像倒立在异侧，虚像正立在同侧
• 物近像远像变大（实像时），物远像近像变小

生活中的透镜

照相机 (Camera)

照相机的镜头相当于一个凸透镜。拍摄时，物体到镜头的距离 $u>2f$（在二倍焦距以外），在胶片或感光元件上形成倒立、缩小的实像。

调焦（调节镜头到胶片的距离）是为了使像清晰地呈现在胶片上。物距变化时，像距也需相应调整。

投影仪 (Projector)

投影仪的镜头也相当于一个凸透镜。投影片（物体）到镜头的距离在 $f<u<2f$ 之间（一倍焦距和二倍焦距之间），在屏幕上形成倒立、放大的实像。

投影仪通常使用平面镜来改变光的传播方向，使像正立地投射到屏幕上。

放大镜 (Magnifying Glass)

放大镜是一个凸透镜。使用时，将物体放在 $u<f$（一倍焦距以内），通过放大镜可以看到正立、放大的虚像。

放大镜的放大效果与焦距有关：焦距越短，放大倍数越大。但如果物体离放大镜太远（$u>f$），将看不到放大的像。

显微镜 (Microscope)

显微镜由两个凸透镜组成：

• 物镜 (objective lens)：靠近物体，焦距较短。物体通过物镜成倒立、放大的实像（成像规律：$f<u<2f$）
• 目镜 (eyepiece lens)：靠近眼睛，焦距较长。物镜所成的实像通过目镜成正立、放大的虚像（成像规律：$u<f$）

显微镜的放大倍数 = 物镜放大倍数 $\times$ 目镜放大倍数。

望远镜 (Telescope)

望远镜也由两个凸透镜组成（开普勒望远镜）：

• 物镜：焦距较长。远处的物体通过物镜成倒立、缩小的实像（成像规律：$u>2f$）
• 目镜：焦距较短。物镜所成的实像通过目镜成正立、放大的虚像

显微镜与望远镜的对比

光学仪器	物镜作用	目镜作用	最终成像
显微镜	成倒立放大实像（投影仪原理）	成正立放大虚像（放大镜原理）	倒立放大虚像
望远镜	成倒立缩小实像（照相机原理）	成正立放大虚像（放大镜原理）	倒立缩小虚像

眼睛和眼镜

眼睛的结构

人眼相当于一架精密的照相机：

• 晶状体和角膜 相当于凸透镜（可调节焦距）
• 视网膜 相当于光屏（胶片）

外界物体通过晶状体和角膜折射后，在视网膜上形成倒立、缩小的实像。视网膜上的感光细胞将光信号转化为神经信号，经视神经传给大脑，人就能看到物体了。

正常眼睛的调节

眼睛通过改变晶状体的形状（即改变焦距）来看清远近不同的物体，这个过程叫作调节 (accommodation)。

• 看近处物体：晶状体变凸（焦距变短），折光能力增强
• 看远处物体：晶状体变平（焦距变长），折光能力减弱

正常眼睛的明视距离约为 25 cm。

近视眼及其矫正

近视眼 (myopia) 的成因：

• 晶状体太厚（折光能力太强），或眼球前后径太长
• 远处物体的像成在视网膜前方
• 看远处物体模糊不清

矫正方法：配戴凹透镜——凹透镜使光线发散后再进入眼睛，使像后移至视网膜上。

远视眼及其矫正

远视眼 (hyperopia) 的成因：

• 晶状体太薄（折光能力太弱），或眼球前后径太短
• 近处物体的像成在视网膜后方
• 看近处物体模糊不清（远视眼俗称"老花眼"）

矫正方法：配戴凸透镜——凸透镜使光线会聚后再进入眼睛，使像前移至视网膜上。

近视眼和远视眼对比

对比项	近视眼	远视眼
成因	晶状体太厚（折光太强）或眼球前后径太长	晶状体太薄（折光太弱）或眼球前后径太短
像的位置	成在视网膜前方	成在视网膜后方
矫正	配戴凹透镜	配戴凸透镜
常见人群	青少年（用眼过度）	老年人（晶状体调节能力下降）

注意

近视眼和远视眼的矫正透镜不同——近视眼戴凹透镜，远视眼戴凸透镜。千万不要混淆！可以用"近凹远凸"来记忆。

实验探究

来自 PhET 的在线仿真实验

• 几何光学 — 探究透镜的成像规律与光的传播，调整物距、焦距和透镜类型，观察成像变化

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射线光学模拟

射线光学模拟 - 提供丰富的几何光学模拟功能，支持多透镜组合、各种透镜和反射镜的模拟，还可以查看多种经典光学仪器的工作原理。

速记

• 凸透镜与凹透镜：凸透镜中间厚边缘薄，对光有会聚作用；凹透镜中间薄边缘厚，对光有发散作用
• 三条特殊光线：平行于主光轴 → 过焦点（或反向延长线过焦点）；过光心 → 方向不变；过焦点 → 平行于主光轴
• 凸透镜成像规律：一倍焦距分虚实，二倍焦距分大小。实像倒立在异侧，虚像正立在同侧。物近像远像变大（实像时）
• 实像与虚像：实像由实际光线会聚而成，能在光屏上呈现、倒立；虚像由光线的反向延长线相交而成，不能在光屏上呈现、正立
• 照相机：$u>2f$，成倒立缩小的实像
• 投影仪：$f<u<2f$，成倒立放大的实像
• 放大镜：$u<f$，成正立放大的虚像
• 显微镜：物镜成倒立放大实像（投影仪原理），目镜成正立放大虚像（放大镜原理）
• 望远镜：物镜成倒立缩小实像（照相机原理），目镜成正立放大虚像（放大镜原理）
• 眼睛与矫正：近视眼戴凹透镜（像在视网膜前方），远视眼戴凸透镜（像在视网膜后方）。近凹远凸